Calibración de la intensidad de salto mediante máxima verosimilitud filtrada en modelos de valoración avanzada de activos
El problema de identificación en la calibración de la intensidad de salto
La calibración de la intensidad de salto en modelos de valoración avanzada no es un problema de optimización ordinario. La intensidad de salto es un parámetro latente cuyo valor no puede observarse directamente en los datos, sino que debe inferirse a partir de la distribución de los retornos observados condicionalmente a los demás parámetros del modelo. Esta circularidad entre la estimación de la intensidad y la estimación del resto de los parámetros es la fuente principal de las dificultades de identificación que afectan a la calibración de los modelos de salto. El punto de partida para entender esas dificultades es reconocer que la distribución de los retornos bajo un modelo de Poisson compuesto con intensidad moderada y saltos de magnitud elevada puede ser estadísticamente indistinguible de la distribución bajo un modelo con intensidad elevada y saltos de magnitud reducida, especialmente cuando la muestra disponible no contiene un número suficientemente grande de eventos de salto identificados con certeza estadística. Esta falta de identificación no es un defecto del método de estimación, sino una propiedad intrínseca del problema que ningún estimador puede resolver sin información adicional sobre la distribución de las magnitudes de los saltos o sobre la intensidad del proceso.
Condiciones necesarias para la identificación del parámetro de intensidad
La identificación de la intensidad de salto requiere que la distribución de las magnitudes de los saltos esté especificada de forma suficientemente restrictiva como para que cambios en la intensidad produzcan distribuciones de retornos estadísticamente distinguibles. Cuando la distribución de las magnitudes es una normal con media y varianza libres, el modelo de Poisson compuesto no está identificado sin restricciones adicionales sobre alguno de sus parámetros. La restricción más habitual en la práctica consiste en fijar la media de la distribución de las magnitudes de los saltos en cero, lo que impone simetría en la distribución de los retornos inducida por los saltos y permite identificar la intensidad a partir de la curtosis empírica de los retornos. Esta restricción debe evaluarse empíricamente en cada aplicación, ya que la asimetría de los saltos es un hecho documentado en los mercados de renta variable que contradice el supuesto de media cero en muchos periodos de análisis.
Función de verosimilitud filtrada y su relación con el filtro de Kalman
La función de verosimilitud filtrada del modelo de salto se construye integrando la variable de estado latente, que registra si se ha producido un salto en cada periodo, fuera de la función de verosimilitud completa. Esta integración puede realizarse de forma analítica en el caso del modelo de Poisson compuesto con distribución de magnitudes gaussiana, donde la función de densidad condicional de los retornos dado el número de saltos ocurridos en el periodo tiene expresión cerrada como mezcla finita de normales. El número de términos de esa mezcla crece exponencialmente con la longitud del periodo de agregación, lo que hace que la evaluación exacta de la función de verosimilitud sea computacionalmente prohibitiva para datos de frecuencia diaria o superior. Las aproximaciones truncadas que limitan el número máximo de saltos por periodo a un valor pequeño, habitualmente dos o tres, introducen un sesgo en la función de verosimilitud que puede ser relevante cuando la intensidad estimada es elevada.
Superficie de verosimilitud y presencia de óptimos locales
La superficie de verosimilitud de los modelos de salto presenta con frecuencia múltiples óptimos locales que dificultan la convergencia de los algoritmos de optimización numérica estándar. Este problema es especialmente pronunciado cuando la intensidad de salto y la varianza de las magnitudes de los saltos están cercanas a los valores que producen una distribución de retornos indistinguible de la gaussiana, región en la que la superficie de verosimilitud es muy plana y los gradientes son pequeños. La estrategia más robusta para mitigar este problema consiste en inicializar el algoritmo de optimización desde múltiples puntos del espacio paramétrico, seleccionados mediante una cuadrícula o mediante métodos de búsqueda global como los algoritmos evolutivos o el recocido simulado, y verificar que las soluciones obtenidas desde distintos puntos de partida convergen al mismo máximo global con una frecuencia suficientemente elevada.
Implementación práctica de la máxima verosimilitud filtrada en modelos con saltos
La implementación práctica de la máxima verosimilitud filtrada en modelos de salto requiere resolver tres problemas de forma coordinada: la aproximación de la función de verosimilitud cuando no tiene expresión analítica cerrada, la optimización numérica de esa función aproximada en un espacio paramétrico de alta dimensión, y la cuantificación de la incertidumbre de estimación mediante el cálculo de la matriz hessiana o de los errores estándar robustos. Cada uno de estos tres problemas introduce aproximaciones que acumulan error de forma potencialmente significativa cuando no se controlan con cuidado. La práctica de documentar explícitamente cada una de esas aproximaciones y de evaluar su impacto sobre los resultados finales mediante análisis de sensibilidad es una condición necesaria para que las estimaciones obtenidas sean reproducibles y estadísticamente defendibles ante un escrutinio externo.
Aproximación de la función de densidad de transición mediante transformada de Fourier
Cuando la función de densidad de transición del modelo de salto no tiene expresión analítica cerrada, la evaluación de la función de verosimilitud puede realizarse mediante la transformada de Fourier inversa de la función característica del modelo, que sí tiene forma cerrada para la mayoría de los modelos de Poisson compuesto con distribuciones de magnitudes paramétricas. Este enfoque, conocido como estimación por función característica, requiere una discretización del dominio de integración que introduce un error de aproximación que disminuye al aumentar el número de puntos de evaluación pero que tiene un coste computacional que crece linealmente con ese número. La elección del dominio de integración y del paso de discretización debe realizarse de forma adaptativa en función de los parámetros del modelo, ya que valores extremos de la intensidad o la varianza de las magnitudes pueden requerir dominios de integración más amplios para capturar adecuadamente las colas de la distribución.
Gradiente analítico de la función de verosimilitud y convergencia del algoritmo
El cálculo del gradiente analítico de la función de verosimilitud filtrada con respecto a los parámetros del modelo acelera de forma considerable la convergencia de los algoritmos de optimización numérica en comparación con los métodos de diferencias finitas. Para los modelos de Poisson compuesto con función característica analítica, el gradiente de la función de verosimilitud aproximada por transformada de Fourier puede calcularse de forma exacta diferenciando bajo el signo integral, lo que produce expresiones analíticas para los gradientes que tienen el mismo coste computacional que la evaluación de la función de verosimilitud. La verificación numérica de esos gradientes analíticos mediante comparación con aproximaciones por diferencias finitas es una práctica de control de calidad indispensable antes de utilizar el algoritmo de optimización en aplicaciones empíricas.
Errores estándar robustos y cuantificación de la incertidumbre de estimación
Los errores estándar de los estimadores de máxima verosimilitud filtrada se calculan habitualmente a partir de la inversa de la matriz hessiana de la función de verosimilitud evaluada en el óptimo. Esta aproximación asintótica es válida bajo condiciones regulares de identificación y diferenciabilidad de la función de verosimilitud, pero puede subestimar la incertidumbre real de estimación cuando la muestra es pequeña o cuando el modelo está en el límite de identificación. Los errores estándar robustos de tipo sandwich, que combinan la inversa del hessiano con la matriz de productos externos de los gradientes, ofrecen mayor resistencia a la mal especificación local del modelo y son preferibles en aplicaciones empíricas donde la correcta especificación del modelo no puede verificarse de forma exhaustiva.
Evaluación y validación de las estimaciones de intensidad de salto obtenidas
La evaluación de las estimaciones de intensidad de salto obtenidas mediante máxima verosimilitud filtrada no puede limitarse a verificar que el algoritmo de optimización ha convergido a un máximo de la función de verosimilitud. Es necesario examinar si los parámetros estimados son económicamente plausibles, si las distribuciones de retornos generadas por el modelo calibrado reproducen los momentos empíricos observados, y si la intensidad estimada es estable a lo largo de subperiodos muestrales distintos. La inestabilidad de la intensidad estimada a lo largo del tiempo es en sí misma informativa: puede indicar que el verdadero proceso de salto tiene intensidad estocástica y que el modelo de Poisson con intensidad constante es una aproximación insuficiente, o puede reflejar la influencia de observaciones atípicas sobre el estimador en subperiodos específicos.
Pruebas de estabilidad de los parámetros estimados en subperiodos muestrales
La estabilidad de las estimaciones de intensidad de salto a lo largo de distintos subperiodos muestrales puede evaluarse mediante pruebas de cambio estructural adaptadas al contexto de los modelos de salto, como la prueba de razón de verosimilitud para la hipótesis de parámetros constantes frente a la alternativa de un cambio en un punto desconocido del tiempo. Cuando la prueba rechaza la hipótesis de estabilidad, el analista debe decidir si ampliar el modelo para incluir intensidad estocástica o si restringir el análisis a subperiodos homogéneos. La segunda opción es más parsimoniosa pero puede no ser válida si los cambios en la intensidad son graduales en lugar de discretos, en cuyo caso la segmentación en subperiodos introduce un sesgo de selección en las estimaciones obtenidas.
Comparación de momentos simulados con momentos empíricos de los retornos
Una vez estimados los parámetros del modelo por máxima verosimilitud filtrada, la validación mediante comparación de momentos simulados con momentos empíricos proporciona una evaluación informal pero informativa de la calidad del ajuste. Si el modelo calibrado genera distribuciones de retornos cuya curtosis simulada es sistemáticamente inferior a la curtosis empírica observada, esa discrepancia sugiere que el modelo subestima la actividad de salto real del proceso, posiblemente porque la restricción de intensidad constante no es compatible con la variación temporal observada en la frecuencia de los movimientos extremos. La comparación debe extenderse a los momentos condicionales de los retornos, como la autocorrelación de los retornos al cuadrado, que es sensible a la dinámica de la varianza y puede revelar formas de mal especificación que no son detectables mediante los momentos incondicionales.
Análisis de sensibilidad de la intensidad estimada a la distribución de las magnitudes
La intensidad de salto estimada mediante máxima verosimilitud filtrada depende de forma no trivial de la distribución paramétrica asumida para las magnitudes de los saltos. Cuando esa distribución está mal especificada, el estimador de intensidad absorbe parte del error de especificación produciendo estimaciones que son inconsistentes con el verdadero proceso generador de datos. El análisis de sensibilidad de la intensidad estimada a cambios en la distribución de las magnitudes, por ejemplo comparando los resultados bajo una distribución normal, una distribución de doble exponencial y una distribución de varianza gamma, proporciona información directa sobre la robustez de las conclusiones del análisis a los supuestos distribucionales que no pueden verificarse de forma exhaustiva con los datos disponibles.